Nachrechnung des Système L
Prüfbericht zum leptonischen Modell in Jean Émile Charons L'Esprit et la relativité complexe, Albin Michel, Paris 1983, S. 100–115
Zweck
Der Essay Der Nulldurchgang lädt die Physik ein, Charons Gleichungen zu prüfen. Wer das verlangt, muss selbst geprüft haben und die Rechnung offenlegen. Dieser Bericht dokumentiert die Nachrechnung des Système L — der siebzehn gekoppelten Gleichungen auf S. 114–115, mit denen Charon fundamentale Naturkonstanten zu berechnen beansprucht.
Charons Anspruch steht wörtlich auf S. 114: das System hänge „d'aucun paramètre" ab und erlaube „le calcul direct de 5 des principales constantes physiques fondamentales, à savoir c, h, m, μ et τ".
Ausgangsgleichung
L1 ist Gleichung (200) von S. 100, mit K = +1 nach Gleichung (201):
R'²/c² = (1/6)(1/R²) ξ² [ α²(3/R₀² − 1/R²) − 2β²/R₀⁴ ] + K + (1/3)ΛR²
Symboldefinitionen aus den Seiten davor:
| Symbol | Bedeutung | Fundstelle |
|---|---|---|
| α, β | Dichteparameter, [α] = Masse, [β] = Masse·Länge | Gl. (218), S. 103 |
| ξ | ξ = Ω₀c/ħ mit Ω₀ = (4/3)πl₀³, also [ξ] = Länge²/Masse | Gl. (49bis), S. 109 |
| Λ | kosmologische Konstante | Gl. (200), S. 100 |
| K | K = +1, nicht frei wählbar | Gl. (198)/(201), S. 100 |
| l₀ | 1/l₀³ = (1/T)∫₀ᵀ dt/R³ | Gl. (240), S. 110 |
Ein Hinweis zur Notation: α und β sind hier Dichteparameter, nicht die Feinstrukturkonstante. Diese Verwechslung liegt nahe und führt sofort in die Irre.
Schritt 1 — Dimensionsanalyse
Jeder Term von L1 wurde einzeln auf Dimensionslosigkeit geprüft:
| Term | Dimension |
|---|---|
| ξ²α²/(R²R₀²) | 1 |
| ξ²α²/R⁴ | 1 |
| ξ²β²/(R²R₀⁴) | 1 |
| ΛR² | 1 |
Ergebnis: L1 ist dimensional homogen. Kein Fehler in der Aufstellung.
Schritt 2 — Skaleninvarianz
Das System enthält keine einzige dimensionsbehaftete Konstante von außen. Sämtliche expliziten Zahlen — 1/6, 2π², 4π, n+½, K = +1 — sind rein.
Test: Länge × 2, Zeit × 5, Masse × 7. Damit skalieren R, R₀ mit 2; ξ mit 4/7; α mit 7; β mit 14; Λ mit 1/4.
L1(skaliert) − L1 = 0 (exakt, symbolisch)
Ergebnis: L1 ist skaleninvariant. Daraus folgt zwingend:
c, ħ, m und τₙ sind einzeln nicht bestimmbar. Ihre SI-Zahlenwerte sind Einheitenkonvention, kein Vorhersageinhalt des Modells. Bestimmbar sind ausschließlich dimensionslose Größen — also Massenverhältnisse.
Charons Anspruch „calcul direct de c, h, m, μ et τ" ist in dieser Form nicht haltbar. Der Anspruch auf die Massenverhältnisse bleibt intakt und ist damit der eigentliche Testfall: τ₁/m = 206,768 (Myon/Elektron) und τ₂/m ≈ 3477 (Tau/Elektron).
Schritt 3 — Reduktion
Mit x = R/R₀, a = ξα/R₀², b = ξβ/R₀³, λ = ΛR₀² wird L1 zu
f(x) = R'²/c² = [ a²(3 − 1/x²) − 2b² ] / (6x²) + 1 + (λ/3)x²
Symbolisch verifiziert.
Schritt 4 — Randbedingungen L2/L3
L2 und L3 verlangen R = R₀ und R′ = 0 bei τ = 0, also f(1) = 0. Auflösen nach λ:
λ = b² − a² − 3
Damit ist λ keine freie Größe, sondern durch a und b festgelegt.
Schritt 5 — Faktorisierung
Mit u = x² und eingesetztem λ faktorisiert der Zähler vollständig:
6x⁴ f(x) = −(u − 1)[ (2a² − 2b² + 6)u² + (2a² − 2b²)u − a² ]
u = 1 — also x = 1, der erste Umkehrpunkt R₀ — ist stets Wurzel. Der zweite Umkehrpunkt ℛ/R₀ ist Wurzel einer Quadratik:
u₂,₃ = [ (b² − a²) ± √(3a⁴ − 4a²b² + 6a² + b⁴) ] / [ 2(a² − b² + 3) ]
Ergebnis: L1 bis L5 sind analytisch lösbar. Es ist kein numerisches Randwertproblem, wie die Form zunächst nahelegt.
Schritt 6 — L16 und die Lösungsschar
L16 lautet ∫₀ᵀ dt/R = 2π/c. Mit dt = R₀dx/(c√f) über eine halbe Periode und Verdopplung wird daraus
∫₁^x₁ dx / (x √f(x)) = π
Zu jedem a existiert genau ein b, das diese Bedingung erfüllt. Numerisch:
| a | b | λ | ℛ/R₀ | max(R′²/c²) |
|---|---|---|---|---|
| 0,60 | 1,8076 | −0,0927 | 5,605 | 0,663 |
| 0,80 | 1,8847 | −0,0879 | 5,765 | 0,678 |
| 1,00 | 1,9793 | −0,0824 | 5,963 | 0,697 |
| 1,20 | 2,0889 | −0,0767 | 6,195 | 0,718 |
| 1,50 | 2,2764 | −0,0680 | 6,597 | 0,754 |
f bleibt im gesamten Intervall positiv, L6 (R′² ≥ 0) ist erfüllt.
Ergebnis: Es existiert eine einparametrige Lösungsschar. Der geometrische Teil des Modells funktioniert.
Schritt 7 — Die Massenformeln in geschlossener Form
L7 und L8 lauten:
L7: ∫₀ᵀ 2π²c²(α − β/R) dt + h = m c²T L8: ∫₀ᵀ 2π²c²(α + β/R) dt + 2(n+½)h = τₙ c²T
Setzt man L16 ein (∫dt/R = 2π/c), lösen sich beide Integrale geschlossen auf:
m = 2π²α − 4π³β/(cT) + h/(c²T) τₙ = 2π²α + 4π³β/(cT) + (2n+1)h/(c²T)
Daraus folgt unmittelbar:
τₙ₊₁ − τₙ = 2h/(c²T) — konstant, unabhängig von α, β und T
Die schweren geladenen Leptonen bilden eine arithmetische Folge.
Abgleich mit Charons eigener Gleichung (244) auf S. 115, τₙ = μ + 2(n−1)h/(c²T): Die Differenz zu unserem Ergebnis ist exakt null. Die Herleitung reproduziert Charons Gleichung, sie widerspricht ihr nicht.
Schritt 8 — Der Zahlenwert
Mit den gemessenen Massen (PDG 2024) — Myon τ₁ = 105,6584 MeV, Tau τ₂ = 1776,86 MeV — folgt zwingend
2h/(c²T) = 1671,20 MeV τ₃ = 3448,1 MeV = 3,45 GeV τ₄ = 5119,3 MeV = 5,12 GeV
Charon erwartet dieses „prochain lepton lourd" auf S. 113 ausdrücklich.
Ein sequentielles viertes geladenes Lepton bei 3,45 GeV ist experimentell ausgeschlossen. Die PDG-Liste Heavy Charged Lepton Searches führt für genau diesen Bereich die Suchen nach e⁺e⁻ → L⁺L⁻ von BARTEL 83 (PETRA, mittlere Schwerpunktsenergie 34,2 GeV), BERGER 81B (DORIS und PETRA) und BRANDELIK 81 (PETRA). Bei 34 GeV Schwerpunktsenergie wäre ein 3,45-GeV-Lepton in Paarerzeugung trivial zugänglich gewesen. Die heutige Schranke aus LEP2 liegt bei 100,8 GeV.
Schritt 9 — Zweiter, unabhängiger Befund: der Spin
Auf S. 107, im Anschluss an Gleichung (236bis), ordnet Charon den Leptonen den Spin (n + ½)ħ zu, wobei n pro Lepton um eins steigt:
| Lepton | Charons n | Charons Spin | gemessen |
|---|---|---|---|
| Elektron | 0 | ½ ħ | ½ ħ ✔ |
| Myon | 1 | 3/2 ħ | ½ ħ ✘ |
| Tau | 2 | 5/2 ħ | ½ ħ ✘ |
Myon und Tau sind Spin-½-Teilchen. Für das Myon ist das eine der bestgeprüften Größen der Physik überhaupt — die gesamte g−2-Messreihe setzt Spin ½ voraus und bestätigt ihn.
Dieser Befund ist von der Massenformel unabhängig. Er trifft die Zuordnung n ↔ Lepton direkt, auf der das gesamte leptonische Modell ruht.
Schritt 10 — L17 ist redundant
L17 lautet ∫₀ᵀ dt/R³ = T/l₀³ = 4πcT/(3ħξ).
Die erste Gleichheit ist die Definition von l₀ aus Gleichung (240), S. 110. Die zweite folgt aus Gleichung (49bis), S. 109: ξ = (4/3)πl₀³c/ħ, also l₀³ = 3ħξ/(4πc), eingesetzt ergibt genau T/l₀³ = 4πcT/(3ħξ).
L17 ist keine unabhängige Gleichung, sondern eine Identität.
Das hat Folgen für Charons eigene Abzählung auf S. 113: (3n + 14) Gleichungen für (2n + 15) Unbekannte, bei n = 1 also 17 zu 17. Zieht man L17 als redundant ab und berücksichtigt die drei Skalenfreiheiten aus Schritt 2, ist das System bei n = 1 nicht exakt bestimmt, sondern unterbestimmt.
Zusammenfassung
| Prüfpunkt | Ergebnis |
|---|---|
| Dimensionale Homogenität von L1 | besteht |
| Skaleninvarianz | besteht — daraus: c, ħ, m, τₙ einzeln nicht bestimmbar |
| Analytische Lösbarkeit L1–L5 | besteht |
| Lösungsschar unter L16, L6 erfüllt | besteht |
| Arithmetische Massenfolge = Charons Gl. (244) | reproduziert |
| Vorhersage τ₃ ≈ 3,45 GeV | widerlegt (PETRA/DORIS 1981–83, LEP2) |
| Spinzuweisung Myon 3/2, Tau 5/2 | widerlegt (beide Spin ½) |
| L17 unabhängig? | nein, Identität |
Der geometrische Kern — die pulsierende Mikro-Raumzeit zwischen zwei Umkehrpunkten R₀ und ℛ — ist mathematisch konsistent und lösbar. Das darauf aufgesetzte leptonische Modell der Section VI ist an zwei unabhängigen Stellen durch Messung widerlegt.
Formal nicht berührt sind die komplexe Relativität selbst (Section II) und die quantisierte Fassung mit der Spinorstruktur (Section III). Sie verlieren durch diesen Befund aber ihre quantitative Stütze: Wer sie weiter vertreten will, muss sie anders begründen als über das leptonische Modell.
Von den drei im Essay genannten möglichen Ausgängen — Widerspruch zur Beobachtung, Reproduktion ohne Neues, oder testbare neue Vorhersagen — ist damit für diesen Teil der erste eingetreten. Sauber, durch Messung.
Das ist kein angenehmes Ergebnis. Es ist ein Ergebnis. Und es ist mehr wert als weitere Jahrzehnte Unklarheit.
Reproduzierbarkeit
Die Rechnung wurde mit SymPy 1.14 (symbolisch) und SciPy 1.17 (numerisch) durchgeführt. Jeder Schritt ist einzeln nachvollziehbar; die symbolischen Prüfungen — Dimensionshomogenität, Skaleninvarianz, Reduktion, Faktorisierung, Abgleich mit Gl. (244) — liefern exakte Nullen, keine numerischen Näherungen.
Quellen
Jean Émile Charon, L'Esprit et la relativité complexe. Introduction à la psychophysique, Albin Michel, Paris 1983, insbesondere S. 100–115.
Particle Data Group, Review of Particle Physics (2024), Listings: Heavy Charged Lepton Searches; Lepton Summary Table.
W. Bartel et al. (JADE), Suche nach schweren Leptonen bei PETRA, 1983. Ch. Berger et al. (PLUTO), DORIS/PETRA, 1981. R. Brandelik et al. (TASSO), PETRA, 1981. — Sämtlich in der PDG-Liste Heavy Charged Lepton Searches geführt.
M. Acciarri et al. (L3 Collaboration), Search for heavy neutral and charged leptons in e⁺e⁻ annihilation at √s = 183 and 189 GeV, Physics Letters B 462, 354 (1999).